Monoide

En matemàtiques, un monoide és una estructura algebraica consistent en un conjunt dotat d'una llei de composició interna associativa i d'un element neutre. Un monoide és doncs, un magma associatiu i amb element neutre.

Amb altres paraules, ${\displaystyle (E,\star ,e)}$ és un monoide si:

1. ${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},x\star y\in E}$ (llei de composició interna).
2. ${\displaystyle \forall (x,y,z)\in E^{3},x\star (y\star z)=(x\star y)\star z}$ (associativitat)
3. ${\displaystyle e\in E,\forall x\in E,x\star e=e\star x=x}$ (element neutre).

Quan no es té l'existència de l'element neutre parlem d'un semigrup.

Un monoide es diu simplificable a l'esquerra si

${\displaystyle \forall (a,b,c)\in E^{3},a*b=a*c\Rightarrow b=c.}$

De manera similar, es pot definir simplificable a la dreta.